Примеры вступительных задач.
Математика.
- Для всех возможных значений параметров a и b решите уравнение
(loga(ax) + logx(ax))1/2 +
(loga(x/a) + logx(a/x))1/2 = b.
- Для всех вещественных значений p определите значения a, удовлетворяющие
неравенству
cos2(a/2) + p * cos2a >= 1.
- На координатной плоскости заданы прямые y = 6x + 7 и y = -8x - 14.
Каждая из друх парабол вида y = x2 + ax + b и
y = -x2 + ax + b касается обеих прямых. Определите уравнения этих
парабол. Найдите площадь S фигуры, границей которой являются указанные выше
прямые и параболы.
- Определите наибольшее и наименьшее значения выражения x + y + |x - y|
при условии, что x2 - xy + y2 = 4. При каких x и y
достигаются эти значения?
- Четырехугольник KLMN вписан в окружность. Через его вершины проведены
касательные к этой окружности, также образующие вписанный четырехугольник.
Найдите площадь KLMN, если его периметр равен p, и MN/ML = 2, MN/KL = 8.
- Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник KLMN,
причем KL = 1, PQ = 3. Все стороны прямоугольника KLMN и отрезки KP, LP, NQ,
MQ и PQ касаются некоторого шара. Найдите радиус шара.
- Не пользуясь калькулятором, определите значение выражения sin(10) *
sin(50) * sin(70). Углы даны в градусах.
Физика.
- На горизонтальной плоскости находится клин массы M с углом наклона a.
На гладкую поверхность клина помещают брусок массы m. Вся система разгоняется
приложенной к клину постоянной горизонтальной силой F. Коэффициент трения
между клином и плоскостью k, трения между клином и бруском нет. Какова должна
быть сила F, чтобы брусок в процессе разгона был неподвижен относительно клина?
- В цилиндрической трубке с теплонепроницаемыми стенками имеются две жестко
укрепленные перегородки 1 и 2 и свободно движущийся теплонепроницаемый поршень
3. В нечальный момент времени объемы V1 между перегородками 1 и 2,
и V2 между перегородкой 2 и поршнем 3 заполнены одноатомным газом
с давлением P0 = 1 атм. и температурой T0. При этом
поршень 3 неподвижен, так как вся система находится в атмосфере с тем же
давлением P0. Через перегородку 1 в объем V1 медленно
передается теплота Q1, в результате чего система переходит в
новое равновесное состояние. Какая температура T1 установится
в пространстве между перегородкой 1 и поршнем 3? Какое количество теплоты
Q2 пройдет через перегородку 2? Газ считайте идеальным, трением
поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.
- Плоский полый конденсатор емкости C, на котором поддерживается
постоянная разность потенциалов V, разделили тонкой жесткой перегородкой
на две равные части и заполнили жидкостями с диэлектрическими проницаемостями
e1 и e2. После размыкания ключа K
диэлектрик с e2 вытек. Найдите: а) заряд на обкладке
конденсатора; б) силы, действующие на обкладки 1 и 2, давление диэлектрика на
перегородку. Площадь каждой обкладки -- S.
